Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn+1=4an+2（n≥1，n∈N）（1）设bn=an+1-2an，求bn；（2）设cn＝3n+6

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn+1=4an+2（n≥1，n∈N）（1）设bn=an+1-2an，求bn；（2）设cn＝3n+6bn，求数列{cn}的前n项和Tn．

Answer 1

（1）由S_n+1=4a_n+2（n≥1，n∈N），得S_n=4a_n-1+2（n≥2，n∈N），
作差有a_n+1=4a_n-4a_n-1（n≥2），
整理得a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）（n≥2），即b_n=2b_n-1，
∴{b_n}是以b₁=a₂-2a₁为首项2为公比的等比数列，
由a₁=1，S_n+1=4a_n+2（n≥1，n∈N）求得a₂=5，
∴b₁=a₂-2a₁=3，∴bn＝3?2n^-1；
（2）由（1）得，cn＝

3n+6

bn

＝

3n+6

3?2n?1

=

n+2

2n?1

，
则Tn＝3+

4

2

+

5

22

+…+

n+2

2n?1

①，

1

2

Tn＝

3

2

+

4

22

+

5

23

+…+

n+2

2n

②，
①-②得，

1

2

Tn=3+

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n?1

-

n+2

2n

=3+

1 2 (1? 1 2n?1 )

1? 1 2

-

n+2

2n

=3+1-

1

2n?1

-

n+2

2n

=4-

n+4

2n

，
故Tn＝4?

n+4

2n

．