Question

已知椭圆的焦点是F1（-1，0），F2（1，0），P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项．若点P在

已知椭圆的焦点是F1（-1，0），F2（1，0），P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项．若点P在第三象限，且∠PF1F2=120°，则sin∠F1PF2=53145314．

Answer 1

椭圆的焦点是F₁（-1，0），F₂（1，0），
则：|F₁F₂|=2
又P为椭圆上一点，且|F₁F₂|是的等差中项
|PF₁|+|PF₂|=2|F₁F₂|=4 ①
在△PF₁F₂中，∠PF₁F₂=120°
利用余弦定理得：|PF2|2＝|PF1|2+|F1F2|2?2|PF1||F₁F₂|COS120°②
由①②解得：|PF₂|=

14

5

  |PF1|＝

6

5

利用正弦定理：

|F1F2|

sin∠F1PF2

＝

|PF2|

sin∠PF1F2

解得：sin∠F₁PF₂=

5 3

14

故答案为：

5 3

14