Question

已知z，ω为复数，i为虚数单位，（1+3i）?z为纯虚数，ω= z 2+i ，且|ω|=5 2

已知z，ω为复数，i为虚数单位，（1+3i）?z为纯虚数，ω= z 2+i ，且|ω|=5 2 ，则复数ω=______．

Answer 1

设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）?z=（1+3i）（a+bi）=a-3b+（3a+b）i为纯虚数，∴ a-3b=0 3a+b≠0 ． 又ω= z 2+i = (a+bi)(2-i) (2+i)(2-i) = 2a+b+(2b-a)i 5 = 2a+b 5 + 2b-a 5 i ，|ω|= 5 2 ，∴ ( 2a+b 5 ) 2 +( 2b-a 5 ) 2 =5 2 ． 把a=3b代入化为b 2 =25，解得b=±5，∴a=±15． ∴ω=± ( 2×15+5 5 + 10-15 5 i) =±（7-i）． 故答案为±（7-i）．