Question

（本小题满分14分）如图6，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，

（本小题满分14分）如图6，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，EF⊥PB交PB于点F. (Ⅰ) 若PD=DC=2求三棱锥A-BDE的体积；(Ⅱ) 证明PA∥平面EDB；(Ⅲ) 证明PB⊥平面EFD.

Answer 1

解：(Ⅰ)设CD的中点为H，连结EH， 依题意得EH//PD，且EH= PD=1，因为PD⊥底面ABCD，所以EH⊥底面ABCD，故三棱锥E-ABD的高是EH，其体积为 因为 ，所以三棱锥A-BDE的体积为 . (Ⅱ)证明：连结AC，AC交BD于O，连EO，∵底面 ABCD是正方形，∴点O是AC中点，在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO,而EO 平面EDB，且PA 平面EDB，∴PA∥平面EDB. (Ⅲ) 证明：∵PD⊥底面ABCD且DC 底面ABCD， ∴PD⊥DC. ∵PD=DC可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线， ∴DE⊥PC.① 同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC， ∵底面ABCD是正方形有DC⊥BC, ∴BC⊥平面PDC，而DE 平面PDC， ∴BC⊥DE.② 由①②得DE⊥平面PBC，而PB 面PBC， ∴DE⊥PB又EF⊥PB且DE∩EF=E， ∴PB⊥平面EFD.

略