Question

已知函数f（x）= xe -x （x∈R）。 （1）求函数f（x）的单调区间和极值； （2）已知函数y=g（x）的图象与

已知函数f（x）= xe -x （x∈R）。 （1）求函数f（x）的单调区间和极值； （2）已知函数y=g（x）的图象与函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，证明当x>1时，f（x）>g（x）； （3）如果x 1 ≠x 2 ，且f（x 1 ）=f（x 2 ），证明x 1 +x 2 >2。

Answer 1

解：（1）f′（x）=（1-x）e -x 令f′（x）=0，解得x=1 当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表： 所以f（x）在（-∞，1）内是增函数，在（1，+∞）内是减函数 函数f（x）在x=1处取得极大值f（1），且 。 （2）证明：由题意可知g（x）=f（2-x），得g（x）=（2-x）e x-2 令F（x）=f（x）-g（x），即F（x）=xe -x +（x -2）e x-2 于是F′（x）=（x-1）（e 2x-2 -1）e -x ， 当x>1时，2x-2>0，从而e 2x-2 -1 >0 又e -x >0， 所以F′（x）>0 从而函数F（x）在[1，+∞）上是增函数 又F（1）=e -1 -e -1 =0， 所以x>1时，有F（x）>F（1）=0，即f（x）>g（x）。 （3）①若（x 1 -1）（x 2 -1）=0，由（1）及f（x 1 ）= f（x 2 ），得x 1 =x 2 =1，与x 1 ≠x 2 矛盾 ②若（x 1 -1）（x 2 -1）>0，由（1）及f（x 1 ）=f（x 2 ），得x 1 =x 2 ，与x 1 ≠x 2 矛盾 根据①②得（x 1 -1）（x 2 -1）<0 不妨设x 1 <1，x 2 >1 由（2）可知，f（x 2 ）>g（x 2 ），g（x 2 ）=f（2-x 2 ）， 所以f（x 2 ）>f（2 -x 2 ）， 从而f（x 1 ）>f（2-x 2 ） 因为x 2 >1， 所以2-x 2 <1 又由（1）可知函数f（x）在区间（-∞，1）内是增函数， 所以x 1 >2-x 2 ，即x 1 +x 2 >2。