Question

如图①，△BCD内接于直角梯形A1A2A3D，A1D∥A2A3，A1A2⊥A2A3，A1D=10，A1A2=8，沿△BCD三边将△A1BD、△

如图①，△BCD内接于直角梯形A1A2A3D，A1D∥A2A3，A1A2⊥A2A3，A1D=10，A1A2=8，沿△BCD三边将△A1BD、△A2BC、△A3CD翻折上去，恰好形成一个三棱锥ABCD，如图②．（1）求证：AB⊥CD；（2）求直线BD和平面ACD所成的角的正切值；（3）求四面体ABCD的体积．

Answer 1

（1）证明：∵在直角梯形A₁A₂A₃D中，A₁B⊥A₁D，A₂B⊥A₂C，
∴在三棱锥ABCD中，AB⊥AD，AB⊥AC．
∵AC∩AD=A，∴AB⊥平面ACD．
∵CD?平面ACD，∴AB⊥CD．
（2）解：由（1）知AB⊥平面ACD，
∴AD为BD在平面ACD内的射影，
∠BDA是直线BD和平面ACD所成的角．
依题意，在直角梯形A₁A₂A₃D中，
A₁D=A₃D=10，A₁B=A₂B=4，
∴在三棱锥ABCD中，AD=10，AB=4．
在Rt△ABD中，tan∠BDA=

AB

AD

=

4

10

=

2

5

．
∴直线BD和平面ACD所成的角的正切值为

2

5

．
（3）解：由（2）得：AB＝4，AC＝6，AD＝10，CD＝2

17

，
∴S△ABC＝

611

，
∴四面体ABCD的体积：V＝

1

3

×

611

×4＝

4 611

3

．