Question

如图，已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的

如图，已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h．在图①中，点P是边BC的中点，由S△ABP+S△ACP=S△ABC得，12AB．h1+12AC．h2=12BC．h，可得h1+h2=h又因为h3=0，所以：h1+h2+h3=h．图②～⑤中，点P分别在线段MC上、MC延长线上、△ABC内、△ABC外．（1）请探究：图②～⑤中，h1、h2、h3、h之间的关系；（直接写出结论）（2）说明图②所得结论为什么是正确的；（3）说明图⑤所得结论为什么是正确的．

Answer 1

解：（1）②h_l+h₂+h₃=h；③h₁-h₂+h₃=h；④h₁+h₂+h₃=h；⑤h₁+h₂-h₃=h．

（2）图②中，h₁+h₂+h₃=h．
连接AP，
则S_△APB+S_△APC=S_△ABC，
∴

1

2

AB×h₁+

1

2

AC×h₂=

1

2

BC×h．
又h₃=0，AB=AC=BC，
∴h₁+h₂+h₃=h．

（3）图⑤中，h₁+h₂-h₃=h．
连接PA、PB、PC，（如答图）
则S_△APB+S_△APC=S_△ABC+S_△BPC．
∴

1

2

AB×h_l+

1

2

AC×h₂=

1

2

BC×h+

1

2

BC×h₃
又AB=AC=BC，
∴h₁+h₂=h+h₃．
∴h₁+h₂-h₃=h．