Question

如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于B点．（1）若弦AD∥OC，求证：DC是⊙O的切线；（2）若DC是⊙O的切线，求

如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于B点．（1）若弦AD∥OC，求证：DC是⊙O的切线；（2）若DC是⊙O的切线，求证：OC∥AD．

Answer 1

证明：（1）连结OD，如图，
∵AD∥OC，
∴∠1=∠2，∠3=∠A，
而OA=OD，
∴∠A=∠2，
∴∠1=∠3，
在△OBC和△ODC中，

OB＝OD ∠3＝∠1 OC＝OC

，
∴△OBC≌△ODC（SAS），
∴∠OBC=∠ODC，
∵BC切⊙O于B点，
∴AB⊥BC，
∴∠OBC=90°，
∴∠ODC=90°，
∴OD⊥DC，
∴DC是⊙O的切线；

（2）连结OD，
∵BC切⊙O于B点，DC是⊙O的切线，
∴OB⊥BC，OD⊥DC，
∴∠OBC=∠ODC=90°，
在Rt△OBC和Rt△ODC中

OB＝OD OC＝OC

∴Rt△OBC≌Rt△ODC（HL），
∴∠3=∠1，
∵∠BOD=∠1+∠3=∠A+∠2，
∴∠1=∠2，
∴OC∥AD．