Question

（2014?淮安模拟）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，D、E分别是棱A1B1、AA1的中点，点F在棱AB上，且AB=4A

（2014?淮安模拟）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，D、E分别是棱A1B1、AA1的中点，点F在棱AB上，且AB=4AF．（1）求证：EF∥平面BDC1；（2）求证：BC1⊥平面B1CE．

Answer 1

证明：（1）取AB的中点M，
因为AB=4AF，
所以F为AM的中点，
又因为E为AA₁的中点，
所以EF∥A₁M，…（2分）
在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，M分别为A₁B₁，AB的中点，

所以A₁D∥BM，且A₁D=BM，
则四边形A₁DBM为平行四边形，
所以A₁M∥BD，
所以EF∥BD，…（5分）
又因为BD?平面BDC₁，EF?平面BDC₁，
所以，EF∥平面BDC₁ …（7分）
（2）连接CE，B₁E，B₁C，
因为在正三角A₁B₁C₁中，D为A₁B₁的中点，
所以，C₁D⊥A₁B₁，
所以，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，C₁D⊥面ABB₁A₁，
所以，C₁D⊥B₁E，
因为AA₁=AB，
所以，四边形ABB₁A₁为正方形，由D，E分别为A₁B₁，AA₁的中点，
所以，可证得BD⊥B₁E，

所以，B₁E⊥面C₁DB，即BC₁⊥B₁E，…（11分）
又因为在正方形BB₁C₁C中，BC₁⊥B₁C，所以BC₁⊥面B₁CE，…（14分）