Question

高一数学，常用逻辑用语，求高手解答

p命题是假的，那么非p就一定为真吗？
p:若x>y, 则x²>y²
这里p显然是假命题

非p是什么呢？
非p到底是假还是真呢？
麻烦高手给我说一下

Answer 1

首先可以明确告诉你：若p为真，则非p必为假；若p为假，则非p必为真；
这是“非”这个逻辑词的定义。

至于你举的例子，从表面上看它涉及了另一个逻辑词：若……则……。
那么根据【若a则b】的定义：
a真b假时，结果为假；其他情形时结果为真；
可知其否命题的定义就是：
a真b假时，结果为真；其他情形时结果为假；
换言之就是说：该命题等价于
【a且非b】
即：【非p】=【x＞y且x²≯y²】

但显然，这也是个假命题。问题出在哪儿呢？
任意复合命题都是基于原子命题定义的。而这里所谓的原子命题就是【x＞y】和【x²＞y²】。但是，它们根本就不是命题，因为它们本身无法判断真假。
所以，命题p：若x＞y，则x²＞y²，它也不是什么复合命题。这里的若……则……不能当作逻辑词来分析。p本身就是一个原子命题。它的否命题就是：
非p：并非（若x＞y则x²＞y²）；（加括号是为了方便你断句理解）
换种自然点的说法：
x大于y时，x²未必大于y²；

这样看来，似乎数学方法并没有帮到我们多少，这完全是按照日常用语中的逻辑规律进行分析的。其实，你的这个问题涉及到了另一种逻辑：【谓词逻辑】；而【且、或、非、如果……那么……】这些逻辑词都属于【命题逻辑】，也即是你现在所学的“初等逻辑”。你现在还没法对这类问题进行深入分析，等你学了谓词逻辑，这个问题就能解决了。