Question

已知正实数abc满足a^2+b^2=c^2,求(1+c/a)(1+c/b)的最小值

Answer 1

依a²+b²=c²，可设
a=ccosθ，b=csinθ.
∴(1+c/a)(1+c/b)
=(1+1/cosθ)(1+1/sinθ)
≥[1+1/√(sinθcosθ)]² (柯西不等式)
=[1+√2/√(sin2θ)]²
≥(1+√2)²
=3+2√2.
以上两个不等号同时取等时，
有θ=π/4，
故a:b:c=1:1:√2时，
所求最小值为: 3+2√2。

追问

≥[1+1/√(sinθcosθ)]² (柯西不等式)
从这起就不懂了

Answer 2

你好
由题知，
b+c=-2a
b²+c²=1-a²
即
b+c=-2a
bc=(5a²-1)/2
可以把b,c视为方程x²+2ax+(5a²-1)/2=0的两根
因为b,c存在
故方程有解即判别式≥=0
求得-√3/3≤a≤√3/3
即a最小值为-√3/3
谢，望采纳