Question

大一高等数学，全微分

Answer 1

　　如果函数z=f(x, y) 在(x, y)处的全增量
　　Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)
　　可以表示为
　　Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，
　　其中A、B不依赖于Δx, Δy，仅与x,y有关，ρ趋近于0(ρ=√[(Δx)2+(Δy)2])，此时称函数z=f(x, y)在点（x，y）处可微分，AΔx+BΔy称为函数z=f(x, y)在点(x, y)处的全微分，记为dz即
　　dz=AΔx +BΔy
　　该表达式称为函数z=f(x, y) 在(x, y)处(关于Δx, Δy)的全微分。

Answer 2

以 < > 表示下标
2. f (x,y) = x + (y-1)arcsin√(x/y),
f'<x>(x,y) = 1 + (y-1) (1/y) [√y/(2√x)] / √(1-x/y)
= 1 + (y-1)/{2√[x(y-x)]}
f'<x>(x,1) = 1.
3 z = arctan(y/x)
z'<x> = (-y/x^2)/[1+(y/x)^2] = -y/(x^2+y^2)
z'<y> = (1/x)/[1+(y/x)^2] = x/(x^2+y^2)
z''<xx> = 2xy/(x^2+y^2)^2
z''<xy> = [-(x^2+y^2)+2y^2]/(x^2+y^2)^2
= (y^2-x^2)//(x^2+y^2)^2
z''<yy> = -2xy(x^2+y^2)^2