Question

一根质量为m、长为l的均匀细杆，可在水平桌面上绕过其一端的竖直固定轴转动。已知细杆与桌面的滑动摩擦

一根质量为m、长为l的均匀细杆，可在水平桌面上绕过其一端的竖直固定轴转动。已知细杆与桌面的滑动摩擦系数为μ，则杆转动时受的摩擦力矩的大小为？（1╱2μmgl）

Answer 1

将杆无限细分，记最后一段段为n，则每段长度为l/n，每段质量为m/n，第k段距离转轴的长度为（k-1）*l/n
每段所受摩擦力为：f=μmg/n

第段所受的摩擦力对转轴的力矩为：（μmg/n）*（（k-1）*l/n）=kμmgl/n^2
整个杆所受的摩擦力矩则为：∑kμmgl/n^2=（μmgl/n^2）*∑（k-1）
而k-1的取值为0,1,2,3,...,n是一个等差数列∑（k-1）=(0+n)n/2=n^/2
所以整个力矩所受的摩擦力矩就是∑kμmgl/n^2=（μmgl/n^2）*∑（k-1）=（μmgl/n^2）*n^/2=umgl/2

追问

能不能用积分做呢？

追答

积分符号我打不出来，这个作法只是积分的初等化写法，实质上和积分是一样的。我的∑kμmgl/n^2

其实就是0到l每段的受力的定积分，你看懂之后把符号换成积分的就可以了