Question

矢量叉乘点乘证明题(大学物理)

A,B,C均为向量

求证：（A+B）·[(A+C)*B]= -A·（B*C）

Answer 1

只需证明(a×b)×c=b(a*c)-a(b*c)和a×b=-b×a这两条性质即可
(c×a)×(a×b)=-(a×b)×(c×a)=-(((c×a)•a)b -((c×a)•b)a)=(a•c)(b•d)-(a•d)(b•c)
可以看下http://baike.baidu.com/view/973423.htm
由混积的性质a·(b×c)=(a×b)·c及三重矢积的性质a×(b×c)=(a·c)b-(a·b)c
可得(a×b)•(c×d)=a*b×(c×d)=a*((bd)c-(bc)d)=(ac)(bd)-(ad)(bc)
各条性质均可根据矢量积的坐标运算来证明
即a×b=(aybz-azby,azbx-axbz,axby-aybx),其中a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz)
参考 矢量算法与场论

Answer 2

(A+B)·[(A+C)XB]=(A+B)·[AXB+CXB]=A·（AXB）+A·（CXB）+B·（AXB）+B·（CXB）
根据向量的混合积
A·（AXB）=B·（AXA）=0

B·（AXB）=A·（BXB）=0
B·（CXB）=C·（BXB）=0
所以(A+B)·[(A+C)XB]=A·（CXB）=-A·（BXC）