Question

若二项式（3x2-1/x）n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为 ． 答案

若二项式（3x2-1/x）n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为 ．
答案
135
解：∵二项式（3x2-1/x）n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，∴n=6
为什么n=6?，

Answer 1

约定:C[n,m]表示"n个不同元素中任取m个的组合数"

由二项式定理,(a+b)^n的展开式共有n+1项,
其二项式系数C[n,0],C[n,1],...,C[n,n]满足:C[n,0]=C[n,n],C[n,1]=C[n,n-1],C[n,2]=C[n,n-2],...
两边对称且中间项最大。n是偶数时有唯一二项式系数最大项C[n,n/2],n是奇数时中间两项
二项式系数最大C[n,(n-1)/2]=C[n,(n+1)/2].
例:(a+b)^6的系数:1,6,15,20,15,6,1
(a+b)^7的系数:1,7,21,35,35,21,7,1
本题已知展开式中只有第4项的二项式系数最大,得其左右各有3项,即共有7项,所以n=6.
(3x^2-(1/x))^6的常数项是C[6,4](3x^2)^2(-1/x)^4=135

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