Question

设f(x)=sinx 当x<0, f(x)=ax+b 当x>=0 讨论a,b取何值时，f(x)在点x=0处可导？

设
{sinx 当x<0
f(x)={
{ax+b 当x>=0
讨论a,b取何值时，f(x)在点x=0处可导？
求详细过程，不要答案，谢谢

Answer 1

f(x)在x=x0处连续，需要x->x0时，limf(x)=f(x0) (极限符号没法写，你自己意会一下哈)。

f(x)在x=x0处可导，需要x->x0时，lim[f(x)-f(x0)]/(x-x0)存在即左右极限存在且相等，可导必连续。
f(x)连续，则在0点左右极限相等有f(x0-)=f(x0+)，即sin0=a·0+b，所以b=0

f(x)可导，则x->0-时，lim[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(sinx-b)/x，若其极限存在，必有b=0，故x->0-时极限 lim[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=1；x->0+时，limax/x=a。若x->0时，lim[f(x)-f(x0)]/(x-x0)存在，需要左右极限存在且相等，即a=1，b=0。