Question

已知实数a、b、c满足a平方+b平方=1，b平方+c平方=2，c平方+a平方=2，则ab+bc+ca的最小值为？

各位谁能解决悬赏20分，附加分10分

Answer 1

A平方+B平方=1,B平方+C平方=2,C平方+A平方=2
三式相加2A平方+2B平方+2C平方=5,即(A+B)平方+(B+C)平方+(A+C)平方-2(AB+BC+AC)=5
AB+BC+AC=0.5*[(A+B)平方+(B+C)平方+(A+C)平方-5]

因为(A+B)平方>=0,(B+C)平方>=0,(A+C)平方>=0
所以AB+BC+AC>=2.5

Answer 2

a^2+b^2=1
b^2+c^2=2
c^2+a^2=3

c^2+a^2-(a^2+b^2)=3-1
c^2-b^2=2=b^2+c^2
c^2-c^2=2b^2
b^2=0
b=0

带入1式
a=1 或-1
c=√2 或-√2

代入结果为-√2

Answer 3

由题意得a=b=根号1/2=√2/2
所以c=√6/2
然后分类讨论
当a、b均为正数，c为负数或a、b均为负数，c为正数时，ab+bc+ca最小为1/2-2√3