Question

不定积分 第十题和第十一题 求教 请附上过程谢谢

Answer 1

10、此类题有一个比较巧妙的办法。注意理解。
设A=∫sinx/(2sinx+3cosx)dx
B=∫cosx/(2sinx+3cosx)dx
则：
2A+3B=2∫sinx/(2sinx+3cosx)dx+3∫cosx/(2sinx+3cosx)dx
=∫(2sinx+3cosx)/(2sinx+3cosx)dx=x+C1
2B-3A=2∫cosx/(2sinx+3cosx)dx-3∫sinx/(2sinx+3cosx)dx
=∫(2cosx-3sinx)/(2sinx+3cosx)dx
=∫d(2sinx+3cosx)/(2sinx+3cosx)=ln|2sinx+3cosx|+C2
联立可解得：
A=(2x-3ln|2sinx+3cosx|)/13+C3
B=1/39*(9x+6ln|2sinx+3cosx|)+C4
故∫(sinx+8cosx)/(2sinx+3cosx)dx
=A+8B=……
11、∫1/(sin²xcos^4 x)dx
=∫1/(sin²xcos²x)*sec²xdx
=∫4/(4sin²xcos²x)d(tanx)
=∫4/(sin²2x)d(tanx) 利用倍角公式 sin2x=2tanx/(1+tan²x)
=∫4/[2tanx/(1+tan²x)]²d(tanx)
=∫(1+tan²x)²/(tanx)²d(tanx)
=∫(1+2tan²x+tan^4 x)/(tanx)²d(tanx)
=∫([1/(tanx)²+2+tan²x]d(tanx)
=-1/tanx+2x+1/3*tan³x+C

追问

第十题这种方法怎么才能想到呢 一般在什么题型里会用到

追答

学数学，有些巧妙的方法是需要记的。这个题型是：求不定积分∫(asinx+bcosx)/(csinx+dcosx)dx，可用这种构造法解决。