Question

求高数证明题过程！！！急！！！！。

Answer 1

1、证明：（1）F(x)=∫(a,x) f(t)dt+∫(b,x) 1/f(t)dt
因为x∈[a,b]时f(x)>0，故
F'(x)=f(x)+1/f(x)≥2√[f(x)*1/f(x)]=2
（2）F(a)=∫(b,a) 1/f(t)dt=-∫(a,b) 1/f(t)dt<0
F(b)=∫(a,b) f(t)dt>0
根据零点定理，方程F(x)=0在区间(a,b)必有零解。
又F'(x)≥2>0，故函数在区间(a,b)单调递增，方程F(x)=0在区间(a,b)最多只有一个根。
综上知方程F(x)=0在区间(a,b)内有且只有一个根。
2、证明：∫(0,π)xf(sinx)dx= (令y=π-x，则x=π-y，dx=-dy）
∫(π,0)(π-y)f[sin(π-y)](-dy)=∫(0,π)(π-y)f(siny)dy
=∫(0,π)(π-x)f(sinx)dx （积分变量等价性，把y替换成x等式仍成立）
=π∫(0,π)f(sinx)dx-∫(0,π)xf(sinx)dx
解得：
∫(0,π)xf(sinx)dx=π/2*∫(0,π)f(sinx)dx

追问

还有3，4题会吗？