Question

f(x)与g(x),h(x)互素,证明f(x)与g(x)h(x)互素

Answer 1

多项式f(x)与g(x)互素的充要条件是存在多项式u(x)、v(x)，使得uf+vg=1。
如果这个定理需要证明，请追问。

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由已知，
存在a(x)、b(x)、c(x)、d(x)，使得
af+bg=1，cf+dh=1
两式相乘，
acff+adfh+bcfg+bdgh=1

于是，
(acf+adh+bcg)·f+bd·gh=1
此时，取u(x)=a(x)·c(x)·f(x)+a(x)·d(x)·h(x)+b(x)·c(x)·g(x)、v(x)=b(x)·d(x)，
上式立即变为：uf+vgh=1
因而，f与gh互素。

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