Question

求问116题具体思路。图一是书上理论，图二是问题116题。疑问:特征值相同时，对应的特征向量一定是

求问116题具体思路。图一是书上理论，图二是问题116题。疑问:特征值相同时，对应的特征向量一定是线性无关的？特征值不同时，对应的特征向量必线性无关？正交变换时，特征值不同，对应的特征向量必正交，正交必线性无关吗？

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Answer 1

你的这个图一的结论跟 116没有太大的关系，

先说第116题，这个题目主要是考察特征值的代数重数与几何重数之间的关系，简单来说就是特征根的重数 一定大于等于它所对应的线性无关的特征向量的个数；
特征值λ的代数重数是指λ作为特征多项式的根的重数。
特征值λ的几何重数是指 (A-λI)x=0--对应零空间的维数，或者说，几何重数是指与λ相关联的线性无关的特征向量的最大个数。
正交是线性无关的。当矩阵的所有特征值的代数重数与几何重数相等时，矩阵可以正交对角化

追问

为什么k不能＝0？

追答

一个特征值肯定至少有一个特征向量的 这个也是因为(A-λI)这个矩阵的行列式肯定是等于零的，所以(A-λI)x=0有非零解，故k>=1

Answer 2

k小于等于r，这也是一个结论，教材上一般都有，线性无关的个数小于等于重数。

追答

属于不同特征值的特征向量一定线性无关。

非零正交向量必线性无关

追问

k为什么不能＝0？