Question

高中数学 不等式 急求答案

1. 证明：对大于2的一切正整数n，下列不等式都成立。
（1+2+3+...+n)(1+1/2+1/3+...+1/n)≥n^2+n+1
2. 用数学归纳法证明：对于任意大于1的正整数n。
不等式1/2^2+1/3^2+...+1/n^2＜（n-1）/n都成立。

Answer 1

设：f(n)=(1+2+3+…+n)(1+ 1/2 + 1/3 +…+ 1/n)-n^2-n+1
f(3)=(1+2+3)(1+ 1/2 + 1/3)-9-3+1=6*11/6-9-3+1=0
f(n+1)-f(n)=(1+2+3+…+n+n+1)[1+ 1/2 + 1/3 +…+ 1/n+1/(n+1)]-(n+1)^2-n
-(1+2+3+…+n)(1+ 1/2 + 1/3 +…+ 1/n)+n^2+n-1
=1+(n+1)(1+ 1/2 + 1/3 +…+ 1/n)+(1+2+3+…+n)(n+1)-2n-2
>1+n+1+(n+1)^2-2n-2>0
f(n)单调递增。
f(n)>f(3)≥0

当n=2时，1/2^2=1/4<(2-1)/2=1/2,不等式成立.
（2）假设当n=k(k>=2)时不等时成立，那么，对于n=k+1,有
1/2^2+a/3^2+……+1/k^2+1/(k+1)^2<(k-1)/k+1/(k+1)^2=(k^3+k^2-1)/k(k+1)^2<=(k^3+k^2)/k(k+1)^2=k/(k+1).故当n=k+1时不等式也成立。
综上所述，不等式成立。