Question

这两道高数题 怎么做？





Answer 1

令lnx=t，则x=e^t
x∈[1：2]，t∈[0，ln2]
∫[1：2]lnxdx
=∫[0：ln2]td(e^t)
=∫[0：ln2]t·e^t dt
=(t-1)·e^t|[0：ln2]
=(ln2-1)·e^(ln2) -(0-1)·e^0
=(ln2-1)·e²+1
∫[1：2](lnx)²dx
=∫[0：ln2]t²d(e^t)
=∫[0：ln2]t²·e^t dt
=(t²-2t+2)e^t|[0：ln2]
=[(ln2)²-2ln2+2]·e^(ln2) -(0-0+2)e^0
=[(ln2)²-2ln2+2]·e²-2
[(ln2)²-2ln2+2]·e²-2-[(ln2-1)·e²+1]
=[(ln2)²-3ln2+1]·e²-3
<0
∫[1：2]lnxdx>∫[1：2](lnx)²dx
本题应该有简便方法比较大小，不过为了说明情况，还是把两个定积分都求出来了。

f(1，y/x)
=[1²·(y/x)]/[1²+(y/x)²]
=(y/x)/(1+ y²/x²)
=xy/(x²+y²)