Question

二次型经可逆变换x=Cy变为标准型，C矩阵是唯一的吗？

Answer 1

当然不唯一。
理由很简单，因为标准型不唯一。
要抓住二次型坐标变换过程中的不变量：正负惯性指数。

Answer 2

配方法相比正交法简单，但是在元较多的时候也不方便。这时考虑用合同变换法。合同变换：对A做一次初等行变换，接着对所得方阵做一次同种同位的初等列变换。实质：x=Cy f=xTAx=（Cy）TACy=yTCTACy=yT对角阵y 只需CTAC=对角阵 又因为C=p1...ps p1...ps是初等方阵所以（p1...ps）TAp1...ps=对角阵即psT...p1TAp1...ps=对角阵（s次行，s次列构成s次合同变换变成对角阵）而psT...p1T=psT...p1TE=CT（E同时跟着A做相同的行初等变换就变成了CT） x=Cy求得CTT=C，在求出对角阵的同时，也能求出可逆变换C矩阵的转置，（AE）~（对角阵CT），CTT做可逆线性变换x=Cy，则该变换将f化成标准形f=k1y12...kryr2。具体计算中：先写出二次型的A的矩阵形式拼单位阵，变换左半为对角阵，要灵活运用三种初等变换（交换，倍数，加倍都需要行列相继对应变换），当对角线元素为零时，单纯交换不能解决问题，采用具有规律性的后行/列加前行/列，写在题目最后的一句话：做可逆变换x=Cy即（矩阵形式），把f做成标准形f=...。注意：用配方法或合同变换解题时，系数不是A的特征值，只有用正交变换才是特征值，它们的共同点是：项数一样，符号一样。变换得出左半对角阵即可写出标准形。

Answer 3

肯定不唯一啊你把你求得的一个矩阵c再乘以一个常数结果还是没变啊。因为化成的是标准型所以c矩阵为正交矩阵所以你乘的常数会抵消

Answer 4

不唯一，举个例子，

追答

Answer 5

假设A对角化成B，即C'AC=B，C可逆，此时同时在等式两侧乘上非单位可逆对角阵（右乘该矩阵左乘转置），可得到无数个C。