Question

两道高数常微分方程 谢谢

Answer 1

6）首先求齐次方程的解，特征方程为：r²+1=0，所以特征根为±i。所以齐次方程的通解为：Dcosx+Esinx（其中D、E为任意常数）
再求一个特解，不妨设特解y*=Ksin(2x)，K为待定常数，代入原方程有：
-4Ksin(2x)+Ksin(2x)=-sin(2x)
解得：K=1/3
所以原方程的通解为：Dcosx+Esinx+(1/3)sin(2x)
代入初始条件：
y(π)=-D+0+0=1
y`(π)=0-E+(2/3)=1
解得：D=-1，E=-1/3
方程的解为：(1/3)sin(2x)-cosx-(1/3)sinx

4.观察已知方程，当x=0时积分上下限相等，故积分值为0。所以y(0)=1。
已知方程两边对x求导，得到：
y`=-(1/3){y``+2y-6x[exp(-x)]}………………记e的-x次幂为exp(-x)
整理得到二阶线性微分方程：
y``+3y`+2y=6x[exp(-x)]
对应初始条件为：y(0)=1，y`(0)=0
同理解方程就可以了，篇幅有限，这部分留给题主自己解决啦！

Answer 2

(6) 特征方程 r^2+1 = 0, 特征根 r = ±i
特解可设为 y = Acos2x+Bsin2x, 代入微分方程，可得 A =0, B = -1/3.
则特解为 y = -(1/3)sin2x
微分方程的通解为 y = C1cosx + C2sinx - (1/3)sin2x
y(π) = 1, 代入， 得 C1 = -1
y' = -C1sinx + C2cosx - (2/3)cos2x,
y'(π) = 1, 代入， 得 C2 = -5/3,
所求特解为 y = -cosx - (5/3) C2sinx - (1/3)sin2x
4. 等式两边对 x 求导得
y' = (1/3)[y''(x) +2y(x)-6xe^(-x)].
即 y'' - 3y'+ 2y = 6xe^(-x)
特征方程 r^2-3r+2 = 0, 特征根 r = 1, 2
特解可设为 y = (Ax+B)e(-x) , 代入微分方程，可得 A =1, B = 5/6.
则特解为 y = (x+5/6)e(-x)
微分方程的通解为 y = C1e^x + C2e^(2x) + (x+5/6)e(-x)
y(0) = 1, 代入通解，得 C1 + C2 + 5/6 = 1
y' = C1e^x + 2C2e^(2x) + (1/6-x)e(-x)
将 y'(0) = 0 代入得 C1 + 2C2 + 1/6 = 0
联立解得 C1 = 1/2, C2 = -1/3,
所求特解为 y = (1/2)e^x - (1/3)e^(2x) + (x+5/6)e(-x)