Question

函数f=x^3 3mx^2 nx m^2在x=1时有极值0，求m n的值

Answer 1

f(x)=x³+3mx²+nx+m²
f'(x)=3x²+6mx+n
∵x=1时有极值0
∴f'(1)=3+6m+n=0......（1）
f(1)=1+3m+n+m²=0 ......（2）
由（1）得：n=-6m-3 .....(3)
将（3）代入（2）得：
1+3m-6m-3 +m²=0
m²-3m-2=0
m=(3±√17)/2
n=-3(2m+1)=-3(4±√17)

如果题目改为x=-1时有极值0：
f(x)=x³+3mx²+nx+m²
f'(x)=3x²+6mx+n
∵x=-1时有极值0
∴f'(-1)=3-6m+n=0......（1）
f(-1)=-1+3m-n+m²=0 ......（2）
由（1）得：n=6m-3 .....(3)
将（3）代入（2）得：
-1+3m-6m+3+m²=0
m²-3m+2=0
(m-1)(m-2)=0
m1=1，m2=2
n1=3，n2=9
m1=1，n1=3时f′(x)=3x²+6x+3=3(x+1)²≥0，R上单调增，舍去
∴m=2，n=9
∴m+n=11