Question

高一 数学 数学,快!!! 请详细解答,谢谢! (11 12:38:35)

把函数y=sin(wx+Φ)(Φ为锐角)向右平移pai/8或向左平移3pai/8单位都可使对应的新函数为奇函数,则原函数的一条对称轴方程是?

Answer 1

你是要循规蹈矩的繁琐的计算，还是要不成章法的简单的图文结合？
一楼的解法是有问题的，他认为“向右平移π/8或向左平移3π/8”是发生在一个周期内的。
我来给你个规范的计算吧。
原函数向右平移π/8后，得到一个新函数
f1(x)= sin[w(x-π/8)+Φ]= sin(wx-πw/8+Φ)
依题意，f1(x)为奇函数，所以对任意x，恒有
f1(x)+ f1(-x)=0
即sin(wx-πw/8+Φ)+ sin(-wx-πw/8+Φ)=0
展开得[sin(Φ-πw/8) cos(wx)+ cos (Φ-πw/8) sin (wx)]+ [sin(Φ-πw/8) cos(wx)- cos (Φ-πw/8) sin (wx)]=0
化简得sin(Φ-πw/8) cos(wx)=0
要使上式对任意x恒成立，只有
sin(Φ-πw/8)=0
所以Φ-πw/8=mπ (m为整数)
所以w=8(Φ-mπ)/ π (m为整数)--------------------------------①

同理，原函数向左平移3π/8后，得到一个新函数
f2(x)= sin[w(x+3π/8)+Φ]= sin(wx+3πw/8+Φ)
依题意，f2(x)为奇函数，所以对任意x，恒有
f2(x)+ f2(-x)=0
依以上解法解得
w=8(nπ-Φ)/（3π） (n为整数) ---------------------------------②

①②消去w得，8(Φ-mπ)/ π=8(nπ-Φ)/（3π）
化简得Φ=(n-3m)π/4--------------------------------------------------③
由于Φ为锐角，所以0<(n-3m)π/4<π/2
化简得0<n-3m<2
所以n-3m=1 (m、n均为整数)，代回③得
Φ=π/4 （从题中的条件，w是求不出来的）

所以原函数为y=sin(wx+π/4) (k为整数)，
令wx+π/4=kπ+π/2求得其对称轴为x=(k+1/4)π/w
取k=0得原函数的一条对称轴为x=π/4w

Answer 2

sin的对称轴是取最值的地方
而对称中心是和x轴的交点
所以相邻两个对称中心的距离是T/2

奇函数即原点是对称中心
向右平移pai/8或向左平移3pai/8单位时原点都是对称中心
所以T/2=|pai/8+3pai/8|=pai/2
T=pai

向右平移pai/8时对称中心是(0,0)
所以原来是(-pai/8,0)
对称轴和相邻对称中心距离是T/4
所以是 x=-pai/8+T/4
即x=pai/8

Answer 3

易知周期为π，则w=2.Φ=π/4.
对称轴=π/8+kπ k=整数