Question

高等数学，求极限，我图中的解题过程错在哪里，算出来和答案不一样，求指教！

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Answer 1

你的式子也得不出 0， 是 ∞ - ∞
错在用一阶无穷小代换，应进一步用泰勒级数高阶无穷小代换, 但很麻烦。
正确解法：分子分母同乘以 √(1+tanx) + √(1+sinx)
原式 = lim<x→0> (tanx-sinx)/{x[ln(1+x)-x]}/[√(1+tanx) + √(1+sinx)]
= (1/2) lim<x→0> tanx(1-cosx)/{x[ln(1+x)-x]}
= (1/4) lim<x→0> x^3/{x[ln(1+x)-x]} = (1/4) lim<x→0> x^2/[ln(1+x)-x]
= (1/4) lim<x→0> 2x/[1/(1+x)-1] = (1/2) lim<x→0> x(1+x)/(-x) = -1/2

追问

这个用等价无穷小代管感觉没有错诶！为啥不能代换。
我的倒数第二步，最后化解出来的不是两边式子一样的，减起来不是0吗

追答

你每边约分后， 分母都趋近于0 ， 是 ∞ - ∞
等价无穷小代换要换到更高阶， 即用泰勒级数才行，
至少要换到 无穷小的 3 次方才行

追问

两个分式虽然最后都是无穷，相减是无穷-无穷，但是左边的tanx和右边sinx都用等价无穷小x换掉之后，然后分别约掉，最后左右两个分式不是同一个分式相减等于0吗？
最后你说的泰勒级和无穷小3次方没看懂！

追答

无穷小代换只能用于积商，不能用于和差， 分子是和差，代换易出错。
lim (tanx-sinx)/{x[ln(1+x)-x]} = ∞ - ∞， 不是 0。

一定要用泰勒展开代换，应代换为：
分子是 [1+(1/2)tanx-(1/8)(tanx)^2+(1/16)(tanx)^3+......]
- [1+(1/2)sinx-(1/8)(sinx)^2+(1/16)(sinx)^3+......]
即 [(1/2)tanx-(1/8)(tanx)^2+(1/16)(tanx)^3+......]
- [(1/2)sinx-(1/8)(sinx)^2+(1/16)(sinx)^3+......]
即 {(1/2)[x+(1/3)x^3]-(1/8)[x+(1/3)x^3]^2+(1/16)[x+(1/3)x^3]^3+o(x^3)}
- {(1/2)[x-(1/6)x^3]-(1/8)[x-(1/6)x^3]^2+(1/16)[x-(1/6)x^3]^3+o(x^3)}
即 [(1/2)x-(1/8)x^2+(11/48)x^3+o(x^3)]
- [(1/2)x-(1/8)x^2-(1/48)x^3+o(x^3)] = (1/4)x^3+o(x^3)
分母是 x[x-(1/2)x^2+ o(x^2)] - x^2 = -(1/2) x^3 + o(x^3)
若要无穷小代换，分子用 (1/4)x^3 代换，分母用 -(1/2) x^3 代换
原式 = lim[(1/4)x^3+o(x^3)]/[-(1/2) x^3 + o(x^3)] = -1/2

追问

这个泰勒展开式好像没学过，还是用“有理化”比较容易。

如果用lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)，不是不存在“和差”的问题了吗？

最后化出来不是一个类似于”x-x“相同数相减等于0的情况吗？

感觉最后一步既可以看成”无穷-无穷“也可以看成”相同未知数相减等于0“的情况，分辨不出来，要按那种情况看！

追答

分母实际上是 x^3 阶的无穷小，分子必须用精确到 x^3 阶的无穷小代换 。
因此分子用 (1/2)tanx， (1/2)sinx 代换错误，要用

[1+(1/2)tanx-(1/8)(tanx)^2+(1/16)(tanx)^3+......]
- [1+(1/2)sinx-(1/8)(sinx)^2+(1/16)(sinx)^3+......] ，
最后用 (1/4)x^3 代换

追问

lim x→0 (a±b)/c,如果a的无穷小除以b的不穷小≠1的话， 这个a和b就可以用各自的等价无穷小替换。

你觉得这句话成立吗？

追答

无此定理

追问

lim x→0 (a±b)/c,如果a的无穷小除以b的无穷小≠常数的话， 这个a和b就可以用各自的等价无穷小替换。

感觉这句话应该没有反例吧！如果不成立的话，应该有个反例！

追答

好像不行吧。例如
lim(tanx-sinx)/x^3
= limtanx(1-osx)/x^3
= lim(x^3/2)/x^3 = 1/2
按你说的公式
lim(tanx-sinx)/x^3 = ∞ - ∞ = ？？？

Answer 2

第二步就有问题了

追问

问题出在哪里！

追答

第二步还是0-0型，不能直接得0

Answer 3

厉害 加油吧