因式分解的方法
提公因式法、分组分解法、待定系数法、十字分解法、双十字相乘法、对称多项式等等。
1、一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
2、分组分解法指通过分组分解的方式来分解提公因式法和公式分解法无法直接分解的因式，分解方式一般分为“1+3”式和“2+2”式。
3、用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。
4、十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。
5、双十字相乘法是一种因式分解方法。对于型如 Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F 的多项式的因式分解，常采用的方法是待定系数法。这种方法运算过程较繁。对于这问题，若采用“双十字相乘法”（主元法），就能很容易将此类型的多项式分解因式。
6、一个多元多项式，如果把其中任何两个元互换，所得的结果都与原式相同，则称此多项式是关于这些元的对称多项式。x+y+z，xy+yz+zx都是关于元x、y、z的对称多项式。
因式分解原则：
1、分解因式是多项式的恒等变形，要求等式左边必须是多项式。
2、分解因式的结果必须是以乘积的形式表示。
3、每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数。
4、结果最后只留下小括号，分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
5、结果的多项式首项一般为正。 在一个公式内把其公因子抽出，即透过公式重组，然后再抽出公因子。
6、括号内的首项系数一般为正。
7、如有单项式和多项式相乘，应把单项式提到多项式前。如(b+c)a要写成a(b+c)。
8、考试时在没有说明化到实数时，一般只化到有理数就够了，有说明实数的话，一般就要化到实数。
例如：
x^4+y^4+z^4-2x^2y^2-2y^2z^2-2z^2x^2=x^4-2(y^2+z^2)x+y^4+z^4-2y^2z^2
=x^4-2(y^2+z^2)x+y^4+z^4+2y^2z^2-4y^2z^2
=x^4-2(y^2+z^2)x^2+(y^2+z^2)^2-4y^2z^2
=[x^2-(y^2+z^2)]^2-(2yz)^2
=[x^2-(y^2+z^2)+2yz][x^2-(y^2+z^2)-2yz]
=[x^2-(y-z)^2][x^2-(y+z)^2]
=[x+(y-z)][x-(y-z)][x+(y+z)][x-(y+z)]
=(x+y-z)(x-y+z)(x+y+z)(x-y-z)
主元法 所谓主元法分解因式就是在分解含多个字母的代数式时,选取其中一个字母为主元(未知数),将其它字母看成是常数,把代数式整理成关于主元的降幂排列(或升幂排列)的多项式,再尝试用公式法、配方法、分组法等分解因式的方法进行分解。
较为简单的例用
1.因式分解 (ab+bc+ca)(a+b+c)-abc.
分析：如果懂得因式定理的话，解此题自然会流畅很多，但是用主元法的话，也十分简便。
拆开原式,并按a的降幂排列得：
(b+c)a^2+(b^2+c^2+2bc)^2+b(bc+c^2)
=(a+c)(b+c)(a+b)------------------------------【十字相乘法】
十字相乘图为
x--------------- b
(b+c)x -----bc+c^2
对于低次因式分解，主元法与十字相乘法的配合是卓有成效的。
2.因式分解16y+2x^2(y+1)^2+(y-1)^2*x^4
分析：本题尚且属于简单例用，只是稍加难度，以y为主元会使原式极其烦琐，而以x为主元的话，原式的难度就大大降低了。
原式=(y-1)^2x^2+2(y+1)^2x^2+16y---------------------【主元法】
=(x^2y^2-2x^2y+x^2+8y)(x+2)---------------------【十字相乘法】
十字相乘图为
(y-1)^2x ----8y
x ------------2
如果能很好地利用主元法，低次因式分解就不会太难了。
高难度的主元法例用
1.因式分解2x^3+6y^3+15z^3-9x^2y+7xy^2-x^2z-16xz^2-37y^2z+32yz^2+13xyz
分析：本题属于高难度因式分解中的中档题，如果不假思索就上别的方法，就会处处碰壁。
1.原式=2x^3-(9y+z)x^2+(13yz+7y^2-16z^2)x+6y^3+15z^3-37y^2z+32yz---------------【主元法】
这样本题的条理就清晰多了，现抛开x,只看6y^3+15z^3-37y^2z+32yz,
这是一个2元三次因式分解，难度简单多了。
原式=6y^3-9zy^2-(28y^2z-32yz^2-15z^3)-------------------------【拆项法】
=(2y-3z)(y-5z)(3y+z)
再代入原题目，接下来的工作就简单了。
由于首项x系数为2，所以本题难度综合来讲不是太难，算出系数2是与(y-5z)结合的。
所以原式=(x-2y+3z)(2x+y-5z)(x-3y-z)------------------------【拆项法及十字相乘法】
接下来的部分，有兴趣的人可以看看。
旷世难题型的因式分解
竞赛类的学生，因式分解的高手可以演算一下,这是个很好的练习,对你们会很有帮助。
因式分解：
6x^4+18mx^3-6x^3y+30x^2yz-42x^2y^2+6mx^2y-6x^2mz-6x^2z+12x^2m^2+5px^3+5yx^3+15pm-5py+25pyz+25y^2z-30py^2-30y^3+5mpy+5my^2-5pmz-5myz-5pz^2-5yz^2+10pm^2+10m^2y+10yzx^2+30myzx-10xy^2z+50y^2z^2-60y^3z+10my^2z-
10myz^2-10yz^3+20m^2yz-18my^2x+6xy^3-30y^3z+36y^4-6my^3+6my^2z+6y^2z^2-12y^2m^2+10x^2zp+30zpmx-10zpyx
+50yz^2p-60y^2zp-2zpmy-10z^2pm-10z^3p-12x^2zp-36mypx+12y^2px-60y^2pz+72y^3p-12my^2p+12ypmz+12ypz^2-24m^2yp-6p^2x^2-18mxp^2+6xyp^2-30yzp^2+36p^2y^2-6myp^2+6p^2mz+6p^2z^2-12P^2m^2+24x^2z^2+72mz^2x-24yz^2+120yz^3-144y^2z^2+24myz^2-24mz^3+24z^4+48m^2z^2
终于，在其他方法都几乎失效时，主元法的威力体现了出来。
分析：看题目的确很长，但仔细观察也能发现其弱点。
1.没有常数项。
2.首项x的系数很小，预计其能分解成(x+d)(2x+o)(3x+h)(x+j)的形式。
3.自开始起，一部分是6的倍数，紧接着是5的倍数，直到至-2zpmy这一项时，这个特点断掉了。
解题开始：
令x,y,z,p都为0，原式变成了--------2m^2
令x,y为0，原式变成了---------------12p^2m^2
令x为0，原式=-12y^3............................+12p^2m^2,此时正是用主元法的时候，
解得原式=(3y+4z+3p)(-2y+6z-2p)(2y-z+m)(-3y+z+2m)-----【主元法，拆项法，十字相乘法，提取公因式法】
解下来抱歉的是本人实在无能为力，通过把上述的四项依次填入(x+d)(2x+o)(3x+h)(x+j)中，实际上还是要用主元法，
原式=(2x+3y+4z+3p)(3x-2y+6z-2p)(x+2y-z+m)(x-3y+z+2m)
对于这题，硬碰硬是不行的。
一是因式分解的概念，二是与整式乘法的相互关系。因式分解是代数式的一种重要恒等变形。它是学习分式的基础，又在恒等变形、代数式的运算、解方程、函数中有广泛的应用。继整式乘法的基础上来讨论因式分解概念，通过探究与整式乘法的关系，来寻求因式分解的原理。这一思想实质贯穿后继学习的各种因式分解方法。因式分解不仅让学生掌握因式分解的概念和原理，而且又为后面学习因式分解作好了充分的准备。
本文为昊南老师授课讲义PPT，并没有做答案，如果有不明之处可以留言交流。
十字相乘法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。
如：
a²x²+ax-42
首先，我们看看第一个数，是a²，代表是两个a相乘得到的，则推断出(ax+？）×(ax+？），
然后我们再看第二项， +ax这种式子是经过合并同类项以后得到的结果，所以推断出是两项式×两项式。
再看最后一项是-42 ，-42是-6×7 或者6×-7也可以分解成 -21×2 或者21×-2。
首先，21和2无论正负，通过任意加减后都不可能是1，只可能是-19或者19，所以排除后者。
然后，再确定是-7×6还是7×-6。
(ax-7）×(ax+6）=a²x²-ax-42(计算过程省略）
得到结果与原来结果不相符，原式+ax 变成了-ax。
再算：
(ax+7）×(ax+(-6））=a²x²+ax-42
正确，所以a²x²+ax-42就被分解成为(ax+7）×(ax-6），这就是通俗的十字相乘法分解因式。
公式法
公式法，即运用公式分解因式。
公式一般有
1、平方差公式a²-b²=（a+b）（a-b）
2、完全平方公式a²±2ab+b²=（a±b）²对应的还可以有一个口诀：“首平方，尾平方，首尾积的二倍在中央”
分解因式的方法有什么？
