Question

三重积分一道选择题（柱面坐标） 需要解释为啥其他的不对

Answer 1

Ω1，是一个以原点为中心的球在xOy平面以上的部分；Ω3是这个球的第一卦限的部分，是Ω1的1/4
A：xy，I、III象限，同号为正；II、IV，异号为负；正负可以一一对应，互相抵消，因此这个左边积分是0，右边不是0，不能相等；
B：x²y，x轴上方与下方，y异号，正负抵消，左边积分也是0；
C：x²z总是正数，4个卦限对称，相等，正确。
D：同A一样，因为z是正数，xy与A的理由一样互相抵消，左边积分也是0。

Answer 2

首先明确：奇函数在对称区间的积分为0，偶函数在对称区间的积分为半区间的2倍，
然后应该知道Ω1是上半球，关于XOZ、YOZ对称，Ω2的第一卦限部分

A、D选项，因为被积函数都是x的奇函数，所以积分=0

B 选项同理，被积函数是y的奇函数，所以积分=0
C选项分别是x，y的偶函数，所以使用两次上面的性质得到原积分是第一卦限积分的2×2=4倍