Question

已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn,且S9＝90,S15＝240 （1）求an的通项公式和sn

（2）设{bn-（-1）n（这个n是次方）an}是等比数列，且b2=7.b5=71，求{bn}前n项和Tn

Answer 1

解：

(1)

S9=9a5=90，a5=10

S15=15a8=240，a8=16

a8=a5+3d

d=(a8-a5)/3=(16-10)/3=2

a1=a5-4d=10-4×2=2

an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n

Sn=(a1+an)n/2=(2+2n)n/2=n²+n

数列{an}的通项公式为an=2n，前n项和为n²+n

(2)

设该等比数列公比为q

a2=2×2=4，又已知b2=7，b5=71

b2-(-1)²·a2=7-1×4=3

b5-(-1)⁵·a5=71+10=81

q³=[b5-(-1)⁵·a5]/[b2-(-1)²·a2]=81/3=27

q=3

b1-(-1)·a1=[b2-(-1)²·a2]/q

b1+a1=3/3=1

b1=1-a1=1-2=-1

bn-(-1)ⁿ·an=(b1+a1)·qⁿ⁻¹

bn=(-1)ⁿ·an+(b1+a1)·qⁿ⁻¹=2n·(-1)ⁿ+3ⁿ⁻¹

n为奇数时，

Tn=b1+b2+b3+b4+...+bn

=2×[-1+2-3+4-...-(n-2)+(n-1)-n]+1×(3ⁿ-1)/2

=2×[(2-1)+(4-3)+...+((n-1)-(n-2))-n]+ (3ⁿ-1)/2

=2×(n-1)/2 -2n +(3ⁿ-1)/2

=-1-n +(3ⁿ-1)/2

=(3ⁿ-2n-3)/2

n为偶数时，n-1为奇数

Tn=-1-(n-1)+2n +(3ⁿ-1)/2=(3ⁿ+2n-1)/2

写成统一的形式：

Tn=[3ⁿ+(2n+1)·(-1)ⁿ-2]/2