Question

已知实数m,n满足m2=n+2,n2=m+2,且m≠n,求m2-3mn+n2 的值

Answer 1

m3-3mn+n3
=(m2)*m-3mn+(n2)*n
=(n+2)m-3mn+(m+2)n
=mn+2m-3mn+mn+2n
=2(m+n)-mn
又因为m2=n+2,n2=m+2
相减得到：m2-n2=(m+n)(m-n)=n+2-(m+2)=n-m
因为n不等于m，所以n-m不等于0，那么就有m+n=-1
再把上面两个式子相加得到：m2+n2=(m+n)2-2mn=1-2mn=m+n+4=3
所以mn=-1
把m+n=-1,mn=-1代入前面的等式就得到：
m3-3mn+n3
=(m2)*m-3mn+(n2)*n
=(n+2)m-3mn+(m+2)n
=mn+2m-3mn+mn+2n
=2(m+n)-mn=-2-(-1)=-1

Answer 2

m2=n+2,n2=m+2
相减，得
m2-n2=n-m
(m-n)(m+n)+(m-n)=0
(m-n)(m+n+1)=0
m=n(舍去)或m+n=-1
m+n=-1
m=-n-1
n²=-n-1+2
n²+n-1=0
n²+n=1

原式=(-n-1)²-3n(-n-1)+n²
=n²+2n+1+3n²+3n+n²
=5n²+5n+1
=5×1+1
=6