Question

能麻烦您帮忙解答以下第二大题的第四和第七小题吗？最好能有详细解答过程，多谢啦！

Answer 1

郭敦顒回答：
（4）在（e^z）/（z²－1）中，
（e^z）/（z²－1）=（e^z）/[（z－1）（z+1）]，
（e^z）在|z－1|＜δ和|z+1|＜δ内解析，
∴z1=1和z2=－1都是孤立奇点，且均为一级极点。
按留数定义和留数计算规则1：
留数Res[f（z），z0]= z →z0lim [（z－z0）f（z）]。
当z0=1时，Res[f（z），1]= z →1lim [（z－1）（e^z）/（z²－1）]
=（e^z）/（z+1）
=e/2；
当z0=－1时，Res[f（z），－1]= z →－1lim [（z+1）（e^z）/（z²－1）]
=（e^z）/（z－1）
=－1/2e；
∴留数Res[f（z），z0]=Res[f（z），1，－1]
=e/2－1/2e；
（7）在（z^n）/（z－1）^ n，n为正整数，
z =1为孤立奇点，且是n级极点。
留数Res[f（z），z0]= z →z0lim [（z－z0）f（z）]，z0=1，
∴留数Res[f（z），1]= z →1lim [（z－1）（z^n）/（z－1）^n]
=（z^n）/[（z－1）^（n－1）]

Answer 2

第四小题，在z=1处，是z0=1的一阶极点，故留数为1/2*e;在z=-1处，是z0=-1的一阶极点，故留数为-1/2*e^(-1);第七题，是n阶极点，故留数为n