Question

线性代数: 如何证明线性无关

假设矩阵A是n*n的，A^(m-1)!=0但是A^m=0矩阵。证明存在向量B使得
B,A*B,A^2*B,A^(m-1)*B线性无关。

Answer 1

A^(m-1)!=0，所以存在向量B使A^(m-1)*B!=0。
那么，我们要证明的就是上面选取的这个向量B是符合条件的。
存在有限实数列a(0), a(1), ..., a(m-1)满足：
a(0)*B+a(1)*A*B+a(2)*A^2*B+...+a(m-1)*A^(m-1)*B=0 (*)
两边同左乘以A^(m-1)，有：
a(0)*A^(m-1)*B=0（因为A^m=0）
根据条件，知道a(0)=0。
接下来，化简(*)式，去掉第一项，然后两边同左乘A^(m-2)，可得到a(1)=0。
如此类推，整个实数列恒为0。
于是B,A*B,A^2*B,... ,A^(m-1)*B线性无关。

Answer 2

乖乖，都忘记了。抱歉