Question

基本积分公式，不定积分x ^t如何推导的

Answer 1

答：x^(t+1)/(t+1) + C

假设x是变量，n∈R.
这要由导数开始推导：
考虑函数y = xⁿ
则y' = nxⁿ⁻¹
因为
(xⁿ)'_x
= lim(Δx->0) [ (x+Δx)ⁿ - xⁿ ]/Δx，分子运用二项式定理展开
= lim(Δx->0) [ (xⁿ+nxⁿ⁻¹Δx+O(Δx)) - xⁿ ]/Δx
= lim(Δx->0) (nxⁿ⁻¹Δx+O(Δx))/Δx
= lim(Δx->0) [ nxⁿ⁻¹+O(Δx) ]，O(Δx)为比Δx更高阶的项
= nxⁿ⁻¹
把n替换为n+1
即(xⁿ⁺¹)'_x = (n+1)xⁿ
即[xⁿ⁺¹/(n+1)]'_x = xⁿ
所以两边取不定积分，有
∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C，C为任意常数项

Answer 2

1/t x ∧（t-1）