Question

高中导数

Answer 1

f(x)=ax-ln(x+1) 定义域x>-1
g(x)=e^x-x-1
f'(x)=a-1/(x+1) g'(x)=e^x-1
由导数的几何意义，f'(0)=a-1=g'(0)=0
a=1
f'(x)=1-1/(x+1)=x/(x+1)
驻点x=0
f''(x)=1/(x+1)²>0
∴x=0是极小值点
∴x∈(-1,0) f(x)单调递减
x∈(0,+∞) f(x)单调递增
(2)令h(x)=g(x)-kf(x)
h'(x)=e^x-1-kx/(x+1)
=[e^x(x+1)-(1+k)x-1]/(x+1)
令分子=i(x)=e^x(x+1)-(1+k)x-1
i'(x)=e^x(x+1)+e^x-k-1=xe^x+2e^x-k-1
i''(x)=xe^x+3e^x i'(x)的驻点x=-3，为极小值点
∴x>0区间在驻点的右侧，i'(x)单调递增
∴i'(x)>i(0)=1-k
∴当k≤1时 i'(x)≥0 故 i(x)单调递增
i(x)>i(0)=0→h'(x)>0 h(x)单调递增
∴h(x)>h(0)=0
g(x)≥k(x)恒成立