Question

第三问详细过程

Answer 1

这要使用到海伦公式，已知三角形三边为a,b,c，p=(a+b+c)/2，
其面积为S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]=（1/4）√[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]
再化简，得S =（1/4）√(4a^2 · b^2 - (a^2 + b^2 - c^2)^2)
那么如你所画的图所示，OA = OB ，显然△PAO的面积等于△PBO的面积，那么△PAB的面积等于2△PAO的面积。那只要计算 △PAO的面积即可。
OA^2 = x1^2 + y1^2
OP^2 = x2^2 + y2^2
AP^2 = (x1-x2)^2 + (y1-y2)^2
假设OA对应海伦公式中的a，OP对应b，PA对应c，那么
S = (1/4)√(4(x1^2+y1^2)(x2^2+y2^2) - (2x1x2+2y1y2)^2)
= (1/2)√(x1^2 · y2^2 + x2^2 · y1^2 - 2x1x2y1y2)
到这一步，就应该用到y=√(3-(3x^2)/4)，用x1和x2来代替y1和y2，并利用到x1^2+x2^2 = 4来计算。
进一步化简：S = (1/2)√(x1^2 · (3-3(x2^2)/4) + x2^2 · (3-3(x1^2)/4) - 2x1x2√((3-3(x1^2)/4)(3-3(x2^2)/4)))
在这里写，看起来比较费劲，再化简一下，就可以看出来了。需要注意一点的是，x1>0，x2<0，那么√(x1x2)^2 = -x1x2，明确这一点后，
√((3-3(x1^2)/4)(3-3(x2^2)/4)) = - 3x1x2/4
那么S = √3，这里一步到位，给出结果，运算使用到x1^2+x2^2 = 4来化简，就不细说了。
所以，△PAB = 2S = 2√3.