Question

极限证明题，急求

使a为任意实数，使f和g为R实数域的函数，a点除外
如： lim (x右箭头a) f(x) = 0, 且
g有界（存在M＞0，使g（x）的绝对值＜M，除非当x=a）
则 lim (x右箭头a) f(x)g(x) = 0

Answer 1

证明：

∵
∃δ'>0，当0<|x-a|<δ'时，
|g(x)|<M成立，其中δ>0，M>0
又∵
∀ε'>0，∃δ''>0，0<|x-a|<δ''时，
|f(x)|<ε'成立
显然，∃δ=min{δ',δ''}，则：
|f(x)||g(x)|<ε'M
令ε=ε'M，则：
|f(x)||g(x)|<ε
即：∀ε>0，∃δ>0，当0<|x-a|<δ时，
|f(x)||g(x)|<ε成立
因此：
lim(x→a)f(x)g(x)=0