用定义证明sinX/x的极限为0
这是当x→∞时的结论当x→+∞时,要证对於任意E>0,总存在X>0,使当x>X时有|sinx/x-0|0,只要证|sinx|/x|sinx|/E∵|sinx|≤1,∴|sinx|/E≤1/E即只要证x>1/E≥|sinx|/E∴取X=1/E,则当x>X时,上面不等式都成立。
∴lim(x→+∞)sinx/x=0当x→-∞时,可令t=-x,则t→+∞,sinx/x=sin(-t)/(-t)=sint/t由上面证明可知lim(t→+∞)sin(-t)/(-t)=0,即lim(x→-∞)sinx/x=0综上得lim(x→∞)sinx/x=0。
极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终。可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限。在几乎所有的数学分析著作中。
都是先介绍函数理论和极限的思想方法,然后利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数,广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念。如:
(1)函数在 点连续的定义,是当自变量的增量趋于零时,函数值的增量趋于零的极限。
(2)函数在 点导数的定义,是函数值的增量 与自变量的增量 之比 ,当 时的极限。
(3)函数在 点上的定积分的定义,是当分割的细度趋于零时,积分和式的极限。
(4)数项级数的敛散性是用部分和数列 的极限来定义的。
(5)广义积分是定积分其中 为,任意大于 的实数当 时的极限,等等。
当x→+∞时,要证对於任意E>0,总存在X>0,使当x>X时有|sinx/x-0|<E
∵x>0,只要证|sinx|/x<E
只要证x>|sinx|/E
∵|sinx|≤1,∴|sinx|/E≤1/E
即只要证x>1/E≥|sinx|/E
∴取X=1/E,则当x>X时,上面不等式都成立,∴lim(x→+∞)sinx/x=0
当x→
-∞时,可令t=-x,则t→
+∞,sinx/x=sin(-t)/(-t)=sint/t
由上面证明可知lim(t→+∞)sin(-t)/(-t)=0,即lim(x→-∞)sinx/x=0
综上得lim(x→∞)sinx/x=0
这是当x→∞时的结论
当x→+∞时,要证对於任意E>0,总存在X>0,使当x>X时有|sinx/x-0|<E
∵x>0,只要证|sinx|/x<E
只要证x>|sinx|/E
∵|sinx|≤1,∴|sinx|/E≤1/E
即只要证x>1/E≥|sinx|/E
∴取X=1/E,则当x>X时,上面不等式都成立,∴lim(x→+∞)sinx/x=0
当x→
-∞时,可令t=-x,则t→
+∞,sinx/x=sin(-t)/(-t)=sint/t
由上面证明可知lim(t→+∞)sin(-t)/(-t)=0,即lim(x→-∞)sinx/x=0
综上得lim(x→∞)sinx/x=0