Question

用定义证明sinX/x的极限为0

Answer 1

这是当x→∞时的结论当x→＋∞时，要证对於任意E>0,总存在X>0,使当x>X时有｜sinx/x-0|0,只要证｜sinx|/x|sinx|/E∵｜sinx|≤1,∴｜sinx|/E≤1/E即只要证x>1/E≥｜sinx|/E∴取X=1/E,则当x>X时，上面不等式都成立。

∴lim(x→＋∞）sinx/x=0当x→－∞时，可令t=-x,则t→＋∞，sinx/x=sin(-t)/(-t)=sint/t由上面证明可知lim(t→＋∞）sin(-t)/(-t)=0,即lim(x→－∞）sinx/x=0综上得lim(x→∞）sinx/x=0。

极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终。可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限。在几乎所有的数学分析著作中。

都是先介绍函数理论和极限的思想方法，然后利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数，广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念。如：

（1）函数在 点连续的定义，是当自变量的增量趋于零时，函数值的增量趋于零的极限。

（2）函数在 点导数的定义，是函数值的增量 与自变量的增量 之比 ，当 时的极限。

（3）函数在 点上的定积分的定义，是当分割的细度趋于零时，积分和式的极限。

（4）数项级数的敛散性是用部分和数列 的极限来定义的。

（5）广义积分是定积分其中 为，任意大于 的实数当 时的极限，等等。

Answer 2

这是当x→∞时的结论
当x→+∞时,要证对於任意E>0,总存在X>0,使当x>X时有|sinx/x-0|<E
∵x>0,只要证|sinx|/x<E
只要证x>|sinx|/E
∵|sinx|≤1,∴|sinx|/E≤1/E
即只要证x>1/E≥|sinx|/E
∴取X=1/E,则当x>X时,上面不等式都成立,∴lim(x→+∞)sinx/x=0
当x→
-∞时,可令t=-x,则t→
+∞,sinx/x=sin(-t)/(-t)=sint/t
由上面证明可知lim(t→+∞)sin(-t)/(-t)=0,即lim(x→-∞)sinx/x=0
综上得lim(x→∞)sinx/x=0

Answer 3

引用sumeragi693的回答：
这是当x→∞时的结论
当x→+∞时,要证对於任意E>0,总存在X>0,使当x>X时有|sinx/x-0|<E
∵x>0,只要证|sinx|/x<E
只要证x>|sinx|/E
∵|sinx|≤1,∴|sinx|/E≤1/E
即只要证x>1/E≥|sinx|/E
∴取X=1/E,则当x>X时,上面不等式都成立,∴lim(x→+∞)sinx/x=0
当x→
-∞时,可令t=-x,则t→
+∞,sinx/x=sin(-t)/(-t)=sint/t
由上面证明可知lim(t→+∞)sin(-t)/(-t)=0,即lim(x→-∞)sinx/x=0
综上得lim(x→∞)sinx/x=0

这个极限貌似是1吧，，同阶无穷小