Question

一道高中数学题。 急！在线等。

已知a>0，函数f(x)=ax-bx²
1.当b>0时，若对任意x∈R都有f(x)≤1，证明：a≤2√b
2.当b>a时，证明对任意x∈[0，1]，｜f(x)｜≤1的充要条件是b-1≤a≤2√b
3.当0<b≤1时，讨论对任意x∈[0，1]，｜f(x)｜≤1的充要条件

Answer 1

1.a>0 -a<0开口向下
对称轴x=a/b>0
f(x)=-b(x-a/2b)^2+a^2/4b
因为对于任意x 所以当x=a/2b
f(x)取最大值=a^2/4b≤1
所以a≤2√b
2.因为b>a
所以对称轴x=a/b大于0小于1∈[0，1】
因为对任意x∈[0，1]，｜f(x)｜≤1
所以f(a/b)≤1得a≤2√b
f(1)=a-b≤1得b-1≤a
所以b-1≤a≤2√b
3.由2知b-1≤a≤2√b
又因为0<b≤1 b-1《=0
又a》0
所以充要条件0≤a≤2√b

Answer 2

1. x=a/2b的时候有最大值，此时f(x)=a^2/4b<=1，所以a<=2根号b
2. 右边同上。x=a/2b<a/b<1，当x>a/2b时，f(x)递减，
|f(x)|<=1 => f(1)>=-1，即a-b>=-1，a>=b-1
3. 当b>=a/2时，充要条件为b-1≤a≤2√b，即0<a<=2b
当0<b<a/2时，f(x)在[0,1]上递增，所以充要条件为a-b<=1，即2b<a<=b+1
所以充要条件是0<a<=b+1

Answer 3

(1)ax<=bx^2+1恒成立，等价于-bx^2+ax<=1恒成立，则a^2<=4b

Answer 4

1. -bx²+ax-1 ≤0
左边是二次函数最大值。看判别式就得到需要证的不等式
最大值在 X = a/2b 时取得，最大值为a^2/4b^2 - 1/b < 0
一化简就证明出来了。

2.
在x∈[0，1]，｜f(x)｜≤1
只需要保证X在0，1和极值点上满足｜f(x)｜≤1

f(0) = 0, 显然满足。

-1≤f(1)≤1
得到b-1≤a

由于b>a>0，a/2b 在0，1之间。
-1≤f(a/2b)≤1
得到a≤2√b

充分性证明了，同样，反过来，只要有
b-1≤a≤2√b

就能保证
-1≤f(0)≤1
-1≤f(1)≤1
-1≤f(a/2b)≤1

Answer 5

1.f(x)极值为当x=a/2b,f(x)=a^2/4b<=1
所以a≤2√b
2.当x=0，1
时，f（x）>=-1,
当x=1，时
a-b>=-1,b-1≤a≤2√b
3.当a>2b, 当x=0，1
时，1>=f（x）>=-1
b+1>=a>=b-1
即2b<a<=b+1
当0<a<=2b,b-1≤a≤2√b
但b-1<0,2√b>=2b
0<a≤2b
所以充要条件是2b<a<=b+1