Question

在△ABC中,求证: sinA/2sinB/2sinC/2≤1/8

在△ABC中,求证: sinA/2sinB/2sinC/2≤1/8

Answer 1

A、B、C是三角形的三个内角，0<sinA<=1,sinA/2<=1/2,同理0<sinB<=1,sinB/2<=1/2,sinC<=1,sinC/2<=1/2,以上三不等式左边均大于0。三式相乘不等号方向不变，
故(sinA/2)*(sinB/2)*(sin(C/2)<=1/8,证毕。

Answer 2

题目应该是sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2)<=1/8

三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R，半周长为p（=(a+b+c)/2),面积为S:
r=4R*sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2)
∴sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2)=r/(4R)
r=S/p, R=abc/(4S),S^2=p(p-a)(p-b)(p-c)
带入这些公式，
sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2)=r/(4R)=S^2/pabc=(p-a)(p-b)(p-c)/(abc)=1/8*(b+c-a)*(a+c-b)*(a+b-c)/abc
(b+c-a)+(a+c-b)+(a+b-c)=a+b+c
如果分母abc为定值，a+b+c有最小值，当a+b+c确定以后，(b+c-a)*(a+c-b)*(a+b-c)有最大值。
∴sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2)<=1/8 ，当且仅当a=b=c时，取等号。

Answer 3

题目应该是sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2)<=1/8
三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R，半周长为p(=(a+b+c)/2),面积为S:
r=4R*sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2)
∴sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2)=r/(4R)
r=S/p,
R=abc/(4S),S^2=p(p-a)(p-b)(p-c)
带入这些公式，
sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2)=r/(4R)=S^2/pabc=(p-a)(p-b)(p-c)/(abc)=1/8*(b+c-a)*(a+c-b)*(a+b-c)/abc
(b+c-a)+(a+c-b)+(a+b-c)=a+b+c
如果分母abc为定值，a+b+c有最小值，当a+b+c确定以后，(b+c-a)*(a+c-b)*(a+b-c)有最大值。
∴sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2)<=1/8
，当且仅当a=b=c时，取等号。