Question

(arcsinx)的平方dx=

我知道用分部积分，就是有一步不会了。

Answer 1

令t=arcsinx,则x=sint
dx=d(sint)=(cost)dt
所以∫(arcsinx)²dx=∫t²(cost)dt=∫t²d(sint)
=t²sint-∫sintd(t²)(注：此处用了分部积分法）
=t²sint-2∫(sint)td(t)
=t²sint+2∫td(cost)
=t²sint+2(tcost-∫(cost)dt)(注：此处用了分部积分法）
=t²sint+2tcost-2∫(cost)dt
=t²sint+2tcost-2sint+c（c为积分常数）
还原变量得：∫(arcsinx)²dx=x(arcsinx)²+2(arcsinx)(√（1-x^2))-2x+c（c为积分常数）

Answer 2

令arcsinx=u，则x=sinu
∫(arcsinx)²dx
=∫u²d(sinu)
=u²sinu-∫sinu(du²)
=u²sinu-∫2u·sinudu
=u²sinu+2∫ud(cosu)
=u²sinu+2ucosu-2∫cosudu
=u²sinu+2ucosu-2sinu+C
=x·(arcsinx)²+2√(1-x²)·arcsinx-2x+C