Question

一个关于定积分的高数题，求大神解答

Answer 1

先来看看matlab的符号运算结果：

>> syms x
>> int(cos(x)/(1+x^2))
 
ans =
 
int(cos(x)/(x^2 + 1), x)
 
>> int(cos(x)/(1+x^2),0,1)
 
ans =
 
int(cos(x)/(x^2 + 1), x, 0, 1)

也就是说matlab算不出符号解。下面通过级数的方法来求解。

因为积分范围是0<x<1（对于定积分而言，端点去掉是不影响的），因此可以把1/(1+x&#178;)按照几何级数展开：

所以原来的积分为

通过积分表可以得到

而

因此得到递推式：

根据这样的递推式和初始条件，可以唯一地确定数列I(n)以及级数ΣI(n)。这时候如果能把通项求出来，对于计算积分结果是有很大帮助的。如果无法直接看出数列的通项，也可以构造幂级数Σ(-1)^n*I(n)*x^n，根据递推式凑出微分方程，然后根据初始条件求出相应微分方程的特解，接着令x=1即可求得原题定积分的值。

当然在展开幂级数的时候不仅可以把1/(1+x&#178;)展开，也可以把cosx展开，或者分子分母都展开。如果三种展开方式都无法得到简单的符号解的话，那就要考虑数值解了。

通过把积分区间等分成1000份，得到的数值解为0.682885164644968

Answer 2

下面那个x²还是x³