Question

高数 第九题

Answer 1

方法非常多，但是不知道你学到那个阶段了，这里就用最初级的办法！
证明：
根据题意：
f(x)=2xf'(x)
上式写成微分的形式：
f(x)=2x· {d[f(x)]/dx}
f(x)dx=2xd[f(x)]
因此：
dx/2x = d[f(x)]/f(x)
显然：
(1/2)dx/x = d[f(x)]/f(x)
(1/2)· d(lnx)=d[ln|f(x)|]
于是：
(1/2)·lnx = ln|f(x)| + C ，其中C是常数
带入f(1)=1，则：
(1/2)·ln1 =ln1 + C
C =0
于是：
ln√x =ln|f(x)|
即：
f(x)=√x

追问

现在刚把微分中值定理学了

追答

证明：
令：F(x)=f(x)/√x
根据题设：
f(x)=2xf'(x)，可知：
f(0)=0
对于区间(m,M)，其中：m，M>0，且：m≠M，显然F(x)满足拉格朗日中值定理，因此：
F'(ξ)=[F(M)-F(m)]/(M-m)
F'(ξ)
=[f'(ξ)√ξ-(1/2)f(ξ)/√ξ]/ ξ
=[(1/2)/√ξ]·[2ξf'(ξ)-f(ξ)] / ξ
=0
∴F(m)=F(M)
上式对于任意m,M>0且m≠M都成立，因此：
F(m)=F(1)=1
F(x)为常数函数，
即：f(x)=√x