如何证明有理数在实数上的稠密性
证法1：
设两个有理数a，b，a>b,
a-b=d, d为有理数，
d不等于0，d/2也不等于0，
a-d/2为有理数，
a>(a-d/2)>b.
证法2：
任给a,b∈R,存在z∈E,
a<z<b，则E的闭包是R.
x∈R,任给c>0,则x+c>x.
存在c1>0,使得x<x+c1<x+c,且x+c1∈E.
类似的可以选取到c2,c3,...使得{x+cn|n∈N-{0}}包含于E.
现在来证明可以选取到cn,使得an=x+cn的极限是x.
反之,如果任意的cn满足了使得an均大于x,
且an单调(可知an收敛),则an收敛于a>x
但可以选取到a'>0,使得x<x+a'<a,矛盾.
扩展资料：
有理数集是整数集的扩张。在有理数集内，加法、减法、乘法、除法（除数不为零）4种运算通行无阻。
有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如果是同级运算，则按照从左到右的顺序依次计算。
有理数减去一个数，等于加上这个数的相反数，即把有理数的减法利用数的相反数变成加法进行运算。
有理数的除法与乘法是互逆运算。
参考资料来源：百度百科-有理数
1、设E是R的非空子集满足：
任给a,b∈R，存在z∈E，使得a<z<b，则E的闭包是R；
考虑x∈R，任给c>0，则x+c>x。于是存在c1>0，使得x<x+c1<x+c，且x+c1∈E。
类似的可以选取到c2，c3，...使得{x+cn|n∈N-{0}}包含于E。现在来证明可以选取到cn，使得an=x+cn的极限是x。
反之，如果任意的cn满足了使得an均大于x，并且an单调(可知an收敛)，则an收敛于a>x。
但是已知可以选取到a'>0，使得x<x+a'<a，矛盾。
所以x是E的聚点，由x的任意性知E的闭包是R。
2、设两个有理数a，b。
a>b，a-b=d，d为有理数，d不等于0，d/2也不等于0，a-d/2为有理数，
a>(a-d/2)>b；
扩展资料：
实数的性质：
封闭性、有序性、传递性、阿基米德性质、稠密性、完备性。
R实数集具有稠密性，即两个不相等的实数之间必有另一个实数，既有有理数，也有无理数。
参考资料来源：百度百科-实数
设两个有理数a，b，a>b。a-b=d，d为有理数，d不等于0，d/2也不等于0，a-d/2为有理数，a>(a-d/2)>b。
有理数集与整数集的一个重要区别是，有理数集是稠密的，而整数集是密集的。将有理数依大小顺序排定后，任何两个有理数之间必定还存在其他的有理数，这就是稠密性。整数集没有这一特性，两个相邻的整数之间就没有其他的整数了。
有理数是实数的紧密子集：每个实数都有任意接近的有理数。一个相关的性质是，仅有理数可化为有限连分数。依照它们的序列，有理数具有一个序拓扑。有理数是实数的（稠密）子集，因此它同时具有一个子空间拓扑。
扩展资料：
零不能做除数和分母。有理数的除法与乘法是互逆运算。
在做除法运算时，根据同号得正，异号得负的法则先确定符号，再把绝对值相除。若在算式中带有带分数，一般先化成假分数进行计算。若不能整除，则除法运算都转化为乘法运算。
有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如果是同级运算，则按照从左到右的顺序依次计算。
参考资料来源：百度百科--有理数
解：该证明利用了有理数的性质。设两个有理数a，b，a>b。
a-b=d, d为有理数，d不等于0，d/2也不等于0，a-d/2为有理数，a>(a-d/2)>b。
区间[a,b]内一个二等分点：a＜(a+b)/2＜b；
区间[a,b]内两个三等分点：a＜(2a+b)/3＜(a+2b)/3＜b；
区间[a,b]内三个四等分点：a＜(3a+b)/4＜(2a+2b)/4＜(a+3b)/4＜b；
故两个有理数a，b（a＜b）之间有无穷多个有理数。
扩展资料：
有理数性质：在数学上，有理数是一个整数a和一个正整数b的比，例如3/8，通则为a/b。0也是有理数。有理数是整数和分数的集合，整数也可看做是分母为一的分数。有理数的小数部分是有限或为无限循环的数。不是有理数的实数称为无理数，即无理数的小数部分是无限不循环的数。
参考资料来源：百度百科-有理数
2017-01-09 · 知道合伙人教育行家
huqian793
知道合伙人教育行家
向TA提问 私信TA
设E是R的非空子集满足:
1.任给a,b∈R,存在z∈E,使得a<z<b，则E的闭包是R.
考虑x∈R,任给c>0,则x+c>x.于是存在c1>0,使得x<x+c1<x+c,且x+c1∈E.类似的可以选取到c2,c3,...使得{x+cn|n∈N-{0}}包含于E.现在来证明可以选取到cn,使得an=x+cn的极限是x.
反之,如果任意的cn满足了使得an均大于x,并且an单调(可知an收敛),则an收敛于a>x.但是由1.知可以选取到a'>0,使得x<x+a'<a,矛盾.
所以x是E的聚点,由x的任意性知E的闭包是R。
简单的证法就是：
设两个有理数a，b，a>b,
a-b=d, d为有理数，d不等于0，d/2也不等于0，
a-d/2为有理数，
a>(a-d/2)>b,
