Question

设定义在(0,+∞ )上的函数f(x)=ax+1/ax+b(a>0).求f(x)的最小值;

可以直接用不等式来做
a>0 x>0,所以ax>0
f(x)=ax+1/ax+b>=2√ax*1/ax +b=2+b
最小值取得当且仅当ax=1/ax,也就是x=1/a时取得
最小值是2+b
也可以用求导做

2√ax*1/ax +b怎么来的？

Answer 1

（1）f（x）=ax+1ax-1af（x）在（0，1a）上是单调递减的，在（1a，+∞）上单调递增的；理由如下：设x1，x2是（0，1a）上的任意两个值，且x1＜x2，则△x=x2-x1＞0，△y=f（x2）-f（x1）=ax2+1ax2-ax1-1ax1=a（x2-x1）+1ax2-1ax1=a（x2-x1）+x1?x2ax1x2=（x2-x1）（a-1ax1x2）=（x2-x1）?a2x1x2?1ax1x2∵0＜x1＜1a，0＜x2＜1a∴0＜x1x2＜1a2∴0＜ax1x2＜1，ax1x2-1＜0 又△x=x2-x1＞0，ax1x2＞0，∴△y=f（x2）-f（x1）＜0∴f（x）在（0，1a）上是单调递减，同理可证f（x）在（1a，+∞）上单调递增； （2）当0＜1a≤1即a≥1时，f（x）在（0，1]上单调递减，∴fmin（x）=f（1）=a；当1a＞1即0＜a＜1时，f（x）在（0，1a]单调递减，在[1a，1]单调递增，∴fmin（x）=f（1a）=2-1a∴g（a）=a，a≥12?1a，0＜a＜1．

Answer 2

基本不等式，a+b >=2√a b

追问

我算不出2√ax*1/ax +b能麻烦你算一遍给我吗？

追答

把ax当成基本不等式中的a，把1/ax当成基本不等式中的b ，则ax+1/ax >=2√（ax*1/ax）=2，所以f(x)>=2+b