Question

∫[0~x](x-t)f(t)dt 对X求导de

∫[0~x](x-t)f(t)dt 对X求导
∫[0~x](x-t)f(t)dt 对X求导的结果

Answer 1

这个是一个，不定上限积分的题目。对这个书上也有专门的公式，也就是牛顿—莱布尼次公式。在高等数学上册，不定积分，微分。
做个题分两个步骤：
一，把积分函数分离
∫[0~x](x-t)f(t)dt = ∫[0~x]xf(t)dt -∫[0~x]tf(t)dt ；
二，代入公式，对x求导。
[∫[0~x](x-t)f(t)dt]' = [∫[0~x]xf(t)dt -∫[0~x]tf(t)dt]' =[xf（x
）+∫[0~x]f(t)dt ] -xf(x)=∫[0~x]f(t)dt.
回答完毕！
注意，一、如果上限是u（x），下限是v（x）在上述过程中，还要对它对x求导u（x）’，v（x）’。这里是u（x）=x，v（x）=0。
二、还有要是，x是在f（）中，要用，换元法，把它给换出去，也就是f（）中始中的要积分的那个变量的函数，也就是d（）中的那个量。这样再根据，积分同符号无关，可以再求导。
这是一大类题，要注意总结，这样通常在，求“极限”，还有“抽象函数运算”，“中值定理”，“求导”有涉及！

Answer 2

∫[0~x](x-t)f(t)dt
=∫[0~x]{xf(t)dt-tf(t)}dt
=∫[0~x][xf(t)]dt-∫[0~x][tf(t)]dt
=x∫[0~x]f(t)dt-∫[0~x][tf(t)]dt

然后开始求导：
∫[0~x]f(t)dt+xf(x)-xf(x)=∫[0~x]f(t)dt

就是这个结果。

把x看成是常数，提到积分号外面就可以了。

Answer 3

[∫[0~x](x-t)f(t)dt]'
=
[∫[0~x]xf(t)dt
-∫[0~x]tf(t)dt]'
=[xf（x）+∫[0~x]f(t)dt
]
-xf(x)=∫[0~x]f(t)dt.
{∫[0~x]tf(t)dt}