Question

设a为实数，函数f(x)=2x²+(x-a)|x-a| (1)若f（0）≥1求a的取值范围;（2）求f（x）的最小值

（3）设函数h（x）=f(x),x∈[a,+∞),求不等式h（x）≥1的解集

Answer 1

• f(x)=2x²-(x-a)² x≤a

  f(x)=2x²+(x-a)² x>a

  a≤0时 f(0)=-a²≥1无解

  a>0时 f(0)=a²≥1→a≥1

• f(x)=2x²-(x-a)²=x²+2ax-a²=(x+a)²-2a²           x≤a  ①

  f(x)=2x²+(x-a)²=3x²-2ax+a²=3(x-a/3)²+⅔a² x≤a  ②

  ①开口向上，对称轴x=-a ②开口向上，对称轴x=a/3

  ∴a≤0时，②的顶点f(x)=⅔a²是最小值

  a>0时，①的顶点f(x)=-2a²是最小值

• h(x)=3x²-2ax+a²=3(x-a/3)²+⅔a²  x∈[a,+∞)

  a/3≥a→a≤0时，x∈[a,+∞)包含对称轴

  h(x)=3x²-2ax+a²=1→3x²-2ax+a²-1=0 

  Δ=12-8a²

  ∴a≤-√6/2时，h(x)≥1恒成立，解集x∈[a,+∞)

  0<a<√6/2时
  

  x₁=[a-√(3-2a²)]/3,x₂=[a+√(3-2a²)]/3,对称轴左侧递减，右侧递增

  ∴解集x∈[a,x₁]∪(x₂,+∞)

  同理∴a≥√6/2时，h(x)≥1恒成立，解集x∈[a,+∞)

  -√6/2<a<0时

  x₂=[a+√(3-2a²)]/3,解集x∈[x₂,+∞)