Question

初二数学几何证明题

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CF为∠ACB的角平分线，FD⊥CA于点D，FE⊥BE于点E，问四边形CDEF的形状，说明理由。

Answer 1

延长NC至点E,使CE=BM,连结DE
∵BD=DC
∴∠CBD=∠BCD
而∠CBD+∠BCD+∠BDC=180
又∵∠BDC=120
∴∠CBD=∠BCD=30
又∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=∠ACB=60
∴∠ABC+∠CBD=∠ACB+∠BCD=90
即∠ABD=∠ACD=90
又∵∠ACD+∠DCE=180
∴∠DCE=∠ABD=90
用BD=CD,∠ABD=∠DCE,BM=CE
求出△BDM≌△CDE
∴∠BDM=∠CDE
又∵∠BCD=120,∠MDN=60
∴∠NDE=∠MDN=60
用MD=ED,∠MDN=∠NDE,DN=DN
求出△MDN≌△EDN
∴MN=NE
即MN=CN+BM
C△AMN=AM+AN+MN
=AB+AC
=2

Answer 2

角平分线上各点到两边的垂线相等,所以
FD=EF
四边形CDFE中角C角D角E都是90度,所以角F=360-90-90-90=90度
所以四边形CDEF是正方形

Answer 3

四边形CDEF是正方形
理由如下：
∵∠ACB=90°，FE⊥BC，FD⊥AC
∴四边形CEFD是矩形
∵CF是角平分线
∴FE=FD（角平分线上的点，到角两边的距离相等）
∴四边形CEFD是正方形（一组邻边相等的矩形是正方形）

Answer 4

过D作AC的平行线DE，交BC的延长线于点E。
又AD//BC，所以ADEB是平行四边形，所以AC=DE，CE=AD，那么BE=BC+CE=AD+BC=8厘米，
又易证ABCD是等腰梯形或正方形，那么对角线AC=BD，所以BD=DE，所以△BDE是等腰三角形。
作DF垂直BE，那么DF=4厘米，且F为BE的中点。因为EF=(1/2)BE=4厘米，即EF=DF，可知∠DEB=∠DBE=45°，所以可知∠BDE=90°，
AC//DE，所以AC⊥BD

Answer 5

正方形。首先 ∠ACB，∠CEF、∠CDF 均为直角 所以是矩形。CF为∠ACB的角平分线，∠CDF=45°=∠CFD CD=DF 所以是正方形。